Présentation de la transformée de Fourier

La transformée de Fourier est nommée en l'honneur du savant français Joseph Fourier. Celui-ci, mathématicien, s'intéressait aux variations périodiques de phénomènes physiques, notamment le comportement de matériaux lorsqu'ils sont chauffés et refroidis périodiquement. Il a notamment proposé de réécrire toute fonction périodique qui as un comportement suffisamment régulier (les mathématiciens donneront une définition plus propre...) par une somme de fonctions sinusoïdales de même période. Par la suite, cette proposition à été généralisée à des fonctions non-périodiques, là encore sous certaines hypothèses de régularité, et en utilisant des exponentielles plutôt que des fonctions sinusoïdales.

Ceci peut paraitre abstrait, mais ça permet de décrire une fonction par sa composition fréquentielle et non temporelle. Cela signifie que sur la transformée de Fourier d'une fonction, on va avoir des valeurs décrivant la présence plus ou moins importante d'une fréquence dans la fonction de départ.

Pour comprendre ceci, prenons un exemple musical. Imaginez qu'on émette un son de fréquence 400 Hz (ce qui correspond simplement à un "la" pur). La transformée de Fourier de ce signal sera un simple pic à 400 Hz, toutes les autres valeurs (fréquences) seront nulles.
Si on joue un "la" à 400 Hz et un "fa" un peu moins fort à l'octave supérieure, à 698 Hz, alors la transformée de Fourier sera composée de deux pics, un à 400 Hz, l'autre un peu moins élevé à 698 Hz, toutes les autres valeurs étant nulles.
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A gauche, respectivement une note pure "la" à 440 Hz, puis un "fa" à 698 Hz, puis la combinaison (affreuse à l'oreille) d'un "la" et d'un "fa". A droite, les transformées de Fourier de ces signaux, avec une amplitude différente des pics selon l'amplitude des notes.
Là où ça se complique, c'est que ceci n'est vrai que si l'on jouait ces notes pendant une durée infinie, ce qui serait relativement long... Si on joue ces notes pendant une durée définie, alors on n'aura pas de simples pics dans la transformée de Fourier, mais des pics légèrement élargis. Et plus la durée des notes est courte, plus les pics sont larges. Ainsi, si l'on joue tout un morceau de musique, la transformée de Fourier sera relativement complexe à déterminer et on aurait beaucoup de mal à y reconnaitre une sonate de Beethoven...

La bonne nouvelle, c'est que la transformée de Fourier marche en sens inverse : si vous avez la transformée de Fourier d'un signal, vous pouvez retrouver le signal de départ aisément. L'intérêt, c'est donc de prendre la transformée de Fourier d'un signal, la modifier comme on le veut (supprimer des fréquences, en rajouter, multiplier des signaux entre eux...), puis recalculer le signal transformé.

La tranformée de Fourier à deux dimensions

Et même plus, en fait, mais ça devient difficile à visualiser.

Ce que l'on a vu ci-dessus fonctionne pour des signaux temporels (des notes de musiques, des sons), mais peuvent l'être pour des signaux spatiaux. Et en particulier, les images - si, si, il suffit de les considérer comme des fonctions à deux dimensions. Pour une image à deux dimensions, on représentera ainsi un pic de la transformée de Fourier en un pixel plus ou moins brillant. L'image dite de Fourier est difficilement interprétable par un humain, mais cela a quand même son utilité.

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A gauche, une image totalement innocente. A droite, l'amplitude de la transformée de Fourier de l'image. Si vous arrivez à identifier visuellement le contenu de l'image de droite, c'est que vous vivez dans un monde parallèle, le petit monde de Fourier.

Tout ceci fonctionne bien sûr à des dimensions supérieures, selon les applications recherchées...

Concrètement, ce qui est au centre de l'image de Fourier correspond aux basses fréquences de l'image, c'est à dire les variations de contraste sur de larges distances, tandis que les extrémités correspondent aux hautes fréquences, c'est à dire les bords, les coins, etc... Si vous supprimez les basses fréquences, vous ne garderez que les arêtes de votre image; si vous supprimez les hautes fréquences, vous allez avoir une image floue.

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A gauche, les images issues des transformées de Fourier inverses des images de droite, où j'ai artificiellement supprimé certaines valeurs (zones noires).

Combiner des images de Fourier peut donner des effets amusants, par exemple si l'on garde les hautes fréquences d'une image et les basses fréquences d'une autre

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Saurez-vous reconnaitre les deux personnalités célèbres de cette image ? Conseil : approchez-vous de votre écran (pas trop près, hein) pour l'une, et pour l'autre éloignez-vous en plissant les yeux (source)

Les applications en imagerie médicale

Concernant les scanners à rayons X, la transformée de Fourier est une composante nécessaire à la transformée de Radon, qui est l'une des principales techniques de reconstruction d'image en tomographie.

En échographie, on peut filtrer, à travers la transformée de Fourier, des fréquences indésirables, ce qui permet d'améliorer la qualité des images obtenues. Aussi, lorsqu'on reçoit une onde ultrasonore qui a été réfléchie par un objet en mouvement, la fréquence de celle-ci peut-être modifiée (il s'agit de l'effet Doppler, objet d'un futur billet). La modification de la fréquence peut être mesurée aisément grâce à la transformée du signal ultrasonore, ce qui permet donc de détecter les mouvements au sein du corps humain.

En IRM, l'utilisation de la transformée de Fourier est particulièrement complexe. Lorsqu'on mesure un signal IRM, en fonction des paramètres de mesure, on mesure un point de la transformée de Fourier du signal que l'on recherche. En multipliant les mesures, on remplit une image de Fourier. La transformée de Fourier inverse de cette image nous donne alors une image représentative du corps humain...

Références

  • Le fameux Joseph Fourier sur Wikipédia, où on comprend pourquoi son no, revient partout en mathématiques et en physique (séries de Fourier, optique de Fourier
  • Un exemple d'utilisations des transformées de Fourier en traitement du signal, pour le format MP3
  • Un exemple d'utilisations des transformées de Fourier en traitement du signal, pour le format MP3
  • Les transformées de Fourier ont aussi mené au format de compression JPEG : par ici (vulgarisé) ou par là (plus complet)