Les Petites Curies du Net

La loi de Murphy sur les files d'attente

La fameuse "loi" de Murphy, qui dit en substance "si quelque chose peut aller mal, alors ça ira mal" a été étendue aux files d'attentes. Elle dit qu'on a plus de chances d'être dans une file d'attente lente que rapide. L'explication est couramment donnée : "Si l'on est dans une file d'attente quelconque, située entre deux autres, il y a deux chances sur trois que l'une des deux files adjacentes soit plus rapide que la sienne". Et plus il y a de files d'attentes, plus l'effet est important.

Sauf que... le raisonnement inverse est lui aussi valide : "Si l'on est dans une file d'attente quelconque, située entre deux autres, il y a deux chances sur trois que l'une des deux files adjacentes soit plus lente que la sienne". En fait, cela revient tout simplement à dire que l'on a une chance sur trois d'être dans la file la plus lente, une chance sur trois dans la plus rapide, et une chance sur trois d'être dans la file intermédiaire.

Une formulation plus exacte serait donc : "S'il y a trois files d'attentes ou plus, on a moins de chances d'être dans la file la plus rapide". Psychologiquement, on prête plus d'attention aux files plus rapides, pas plus lentes.

Ceci dit,tout n'est pas uniquement psychologique...

On a plus de chance d'être par une file d'attente lente que rapide

Prenons plusieurs files d'attentes qui se remplissent de la même façon au cours du temps (clients d'un supermarché, voyageurs à la sécurité d'un aéroport, voitures à un péage, ...). Plus le point de passage est lent, plus la file d'attente va grossir, car les éléments la quittent plus lentement que les files plus rapides. Ainsi, à un instant donné, si on prend un élément quelconque parmi les deux files d'attente, il aura plus de chances d'être dans la file lente.

Pour illustrer ce concept, prenons l'exemple d'un supermarché avec deux caisses : l'une est gérée par une personne inexpérimentée, et fait passer 1 client à la minute. L'autre est beaucoup plus efficace, et fait passer 2 clients à la minute. Il y a 3 nouveaux clients à la minute à chaque caisse, donc des files d'attente se forment.
Au bout de 10 minutes, il y aura 3*10 - 1*10 = 20 clients dans la file d'attente lente, et 3*10-2*10 = 10 clients dans la rapide. Donc à ce moment-là, il y a deux fois plus de personnes dans la "mauvaise" file d'attente que dans la bonne...
Et pas de loi de Murphy là-dedans, qui s'applique quand il y a au moins trois caisses !

Donc statistiquement, une personne dans une file d'attente quelconque a tout simplement plus de chances d'être dans une file d'attente lente que rapide

Mais pas de panique ! La vie n'est pas si mal faite, comme vous allez le voir...

On a plus de chances de passer par une file d'attente rapide que lente

Une file d'attente rapide permet de traverser plus rapidement qu'une file d'attente lente : le débit y est donc supérieur. Parmi les éléments, plus d'éléments sont susceptibles de passer par la file d'attente rapide que la lente.

Revenons à l'exemple des deux caisses de supermarché, avec une caisse rapide et une caisse lente. En 10 minutes, la première caisse aura fait passer 10 clients, et la deuxième 20 clients.
Cela veut dire que parmi les 30 clients, les deux tiers seront passés par la file rapide et un tiers par la file lente.

Donc une personne passée par une file d'attente quelconque a tout simplement plus de chances d'être passée par une file d'attente rapide...

Paradoxal ? Creusons un peu...

Le paradoxe tient tout simplement à la population étudiée : soit on considère l'ensemble des personnes qui sont dans une file d'attente à un instant donné, soit on considère l'ensemble des personnes qui sont passées par une file d'attente.

Si vous êtes en train d'attendre dans une file et que vous vous impatientez, vous êtes probablement dans la file la plus lente... Mais si vous êtes sortis et que vous faites la suite de vos activités, il y a des chances que vous ne vous souciez plus vraiment des autres encore en train de faire la queue !

Ceci dit, il faut quand même prendre en compte que le rythme de passage aux caisses et équivalent peut varier au cours du temps. Si un client oublie son porte-monnaie en arrivant devant vous, ou discute longtemps avec le préposé à la caisse, etc, cela peut transformer une caisse rapide en caisse lente. Mais cela ne change pas les deux observations ci-dessus.

Par ailleurs, on a souvent le choix entre plusieurs files d'attente. Si chacun peut faire un choix éclairé et délibéré, cela permet d'optimiser la répartition et minimiser le temps d'attente de chacun - la vie est bien faite !
Mais le choix n'est pas toujours si simple : dans un supermarché, on peut vouloir choisir la caisse la plus proche de là où on est, plutôt qu'aller à l'autre bout du magasin pour gagner une misérable place ; dans un péage, on peut pas toujours accéder facilement à la voie qui nous semble la plus intéressante ; on peut avoir l'impression qu'une file est plus lente sans que ce soit le cas. La plupart du temps, on choisit intuitivement la file la plus courte. Même si ce n'est pas forcément la plus rapide, il y a quand même de grandes chances que ce soit le cas.
Si les files d'attente ne sont pas équivalentes, le système sera globalement moins efficace. Par exemple, les caisses "moins de 10 articles", ou autres des supermarchés font que ces caisses se retrouveront parfois vides alors que celles à côté ont des files d'attente : si le temps d'attente diminue pour les quelques privilégiés, il augmente pour les autres.

Du sentiment d'injustice face aux files rapides

On est souvent très attaché à une notion de "justice" qui fait que chacun est censé attendre à peu près pareil - mise à part quelques exceptions (femmes enceintes, personnes handicapées, etc...). Et ceux qui gèrent les files d'attente le savent très bien, ce qui mène à des réactions différentes : avez-vous remarqué que les caisses "détenteurs de cartes de fidélité" sont bien visibles, contrairement aux aéroports où l'on cache les files spéciales pour les voyageurs "business class" et autres "carrés VIP" ?
Dans les supermarchés, l'accès la carte de fidélité est simple et peu onéreux, voire gratuit : la frustration engendrée pourra pousser le consommateur à obtenir une carte (qui donne des informations précieuses à l'établissement). En revanche, dans les aéroports, on considère que le péquenot moyen qui voyage en classe économique n'aura de toutes façons pas suffisamment de moyens pour voyager en business class, pour la très grande majorité : inutile de le frustrer inutilement.

Bref, la gestion des files d'attente a au moins autant à voir avec la psychologie qu'avec les mathématiques. Ainsi, il est normal, quand vous faites la queue depuis un moment dans une file d'attente, d'avoir l'impression d'être dans la file la plus lente : c'est statistiquement le cas ! Mais heureusement, dans la plupart des cas, vous serez passés par la file la plus rapide....